ฐานนิยม

                           ฐานนิยม

          การวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางอีกวิธีหนึ่งคือ ฐานนิยม เพื่อหาดู

ว่ามีค่า X ใดบ้างที่มีโอกาสเกิดมากกว่าค่าอื่น ๆ

ฐานนิยมดูได้จาก ค่าที่มีความถี่มากที่สุด

สมมติข้อมูล 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 13,

13, 13, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 17, 18 ในที่นี้ค่า 13 มีความถี่

5 ซึ่งมีความถี่มากกว่าค่าอื่น ๆ ดังนั้นฐานนิยม คือ 13

สมมติค่าทั้งหมดคือ X มีความถี่เท่ากันทั้งหมด ซึ่งความถี่นั้นอาจ

จะมากกว่าหรือเท่ากับ 1 เช่น 2, 7, 16, 19, 20, 25 และ 27 ถือว่าไม่

มีฐานนิยม อีกตัวอย่างหนึ่ง 2, 2, 2, 7, 7, 7, 16, 16, 16, 19, 19, 19,

20, 20, 20, 25, 25, 25, 27, 27, 27 ซึ่งไม่สามารถจะคำนวณหาฐาน

นิยมได้ เพราะค่าทั้งหมดมีความถี่เป็น 3

ในบางกรณีมีค่า X อยู่ 2 ค่าที่มีความถี่สูงที่สุดเท่ากัน 2 ค่า

ค่าฐานนิยมก็จะมี 2 ค่า สมมติฐานข้อมูล 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13,

 13, 13, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18 ในที่นี้ค่า 13 และ 14

มีความถี่เป็น 4 เท่ากัน ซึ่งเป็นความถี่ที่มากกว่าค่าอื่น ๆ

 ดังนั้นฐานนิยมก็คือ 13 และ 14

ในกรณีเป็นข้อมูลจัดกลุ่ม ฐานนิยมก็คือจุดกึ่งกลางอันตรภาคชั้นที่มีความถี่สูงที่สุด

ฐานนิยมเป็นการหาค่ากลางที่หยาบที่สุด เหมาะสำหรับข้อมูลเชิงคุณภาพ

      
       จาก  http://www.watpon.com/Elearning/stat10.htm

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation)
ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ คือ ค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูลโดยพิจารณาจากครึ่งหนึ่งของระยะจากควอไทล์ที่ 3 (Q₃) ถึง ควอไทล์ที่ 1 (Q₁) หรือ ครึ่งหนึ่งของความแตกต่างระหว่างควอไทล์ที่ 3 (Q₃) และควอไทล์ที่ 1 (Q₁) ของคะแนนข้อมูลชุดหนึ่งๆ เป็นการจัดการกระจายเพื่อวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยมัธยฐาน
โดยใช้สูตร Q.D =

ช่วงคะแนน	ความถี่ (f)	ความถี่สะสม (Cf)
5 – 9 10 – 14 15 – 19 20 – 24 25 – 29 30 – 34 35 - 39	3 4 10 15 14 10 4	3 7 17 - Q3 32 46 - Q1 56 60
	N = 60

วิธีทำ     1. หาตำแหน่ง Q₁ และ Q₃สูตร Q_x = L₁ + I
Q_x คือ ค่าควอไทล์ที่ต้องการหาL₁ คือ ขีดจำกัดล่างที่แท้จริงของชั้นคะแนนที่ควอไทล์อยู่
i คือ อัตรภาค
N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมด
X คือ ตำแหน่งที่ของควอไทล์
F คือ ความถี่สะสมของชั้นก่อนถึงชั้นที่ควอไทล์อยู่
f คือ ความถี่ของชั้นที่ควอไทล์อยู่ค่าของคะแนนในตำแหน่ง Q_x =
Q₁ ของคะแนนชุดนี้ตรงกับข้อมูลตัวนี้ = 15
Q₃ ของคะแนนชุดนี้ตรงกับข้อมูลตัวนี้ = 45    2. หาค่า Q₁ และ Q₃
Q₁ คือ ข้อมูลตัวที่ 15 ตกอยู่ในชั้นคะแนน 15 – 19 (i = 5)Q₁ = 14.5 + 5 = 18.5
Q₃ คือ ข้อมูลตัวที่ 45 ตกอยู่ในชั้นคะแนน 25 - 29Q₃ = 24.5 + 5   = 29.14
    3. นำค่า Q₁ และ Q₃ แทนค่าQ.D =    =   = 5.32

ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ คือ 5.32 อธิบายได้ว่าโดยเฉลี่ยคะแนนกระจายห่างจากคะแนนที่เป็น
มัธยฐานอยู่ 5.32
ข้อสังเกต

1. การวัดการกระจายโดยใช้ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ยังคงใช้คะแนนเพียง 2 ค่า คือ คะแนนในตำแหน่ง Q₁ และ Q₃ ทำให้การกระจายของข้อมูลที่วัดได้ไม่ละเอียดเท่าที่ควร
2. ใช้วัดการกระจายของข้อมูลที่มีบางค่าสูงหรือต่ำกว่าข้อมูลอื่นๆ ในชุดเดียวกัน

            เมื่อ Q.D คือ ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์
          Q ₃ คือ ควอไทล์ที่ 3
                  Q₁ คือ ควอไทล์ที่ 1

จาก http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/3.7.html

เปอร์เซ็นต์ไทล์

เปอร์เซ็นต์ไทล์ ( Percentile )

เป็นตำแหน่งของข้อมูลที่มีการแบ่งข้อมูลทั้งหมดออกเป็น 100 ส่วนเท่า ๆ กัน หรือตำแหน่งที่แสดงให้ทราบว่าเป็นอันดับที่เท่าไร หรือมีจำนวนร้อยละเท่าไรของจำนวนคะแนนที่อยู่ต่ำกว่าตำแหน่งนั้น

1. การคำนวณคะแนน ณ ตำแหน่ง ที่ไม่ได้จัดหมวดหมู่ ( Ungrouped Data ) เรียงคะแนนจากน้อยไปมาก แล้วหาตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่กำหนดให้
   
   
   p = ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์n = จำนวนข้อมูล
2. การคำนวณหาคะแนน ณ เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่กำหนดให้ของข้อมูลที่จัดหมวดหมู่ ( Grouped Data ) วิธีการคำนวณหาคะแนน ณ ตำแหน่ง เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่กำหนดให้ จะมีลักษณะคล้าย ๆ กับการหามัธยฐาน โดยใช้สูตรคือ
   p คือ คะแนน ณ ตำแหน่งเปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ต้องการ
   L คือ ขีดจำกัดล่างที่แท้จริงของชั้นที่ต้องการหาเปอร์เซ็นต์ไทล์
   I คือ อันตรภาคชั้น คือ ความถี่ของชั้นที่เป็นตำแหน่งที่ต้องการ
   ตัวอย่างที่ 10
   ในการสอนวิชาของนักศึกษาปริญญาตรี จำนวน 50 คน ดังข้อมูลในตาราง ถ้าจิตราสอบได้เปอร์เซ็นต์ไทล์ที่ 35 จงหาว่าจิตราสอบได้คะแนนเท่าไร

   คะแนน	ความถี่(f)	ความถี่สะสม(F)
   10 –19 20 – 29 30 –39 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79	6 8 10 12 4 8 2	6 14 24 36 40 48 50
   	N = 50

   
   วิธีทำ    P₃₅ อยู่ตำแหน่งที่             =
                                              
                                           P =
                                        P₃₅ =
                                              =
                                              =
   คะแนนในตำแหน่ง P₃₅ ของคะแนนชุดนี้คือ 33 ฉะนั้นแสดงว่าจิตราสอบวิชาสถิติได้คะแนน 33 คะแนน

จาก  http://reg.ksu.ac.th/teacher/kanlaya/2.8.html

สมบัติของจํานวนนับ

สมบัติของจํานวนนับ

1. ตัวประกอบ คือ จำนวนนับซึ่งหารจำนวนนับใดๆ ได้ลงตัว

2. จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีเฉพาะ 1 และจำนวนนั้นหารลงตัว

 จำนวนเฉพาะตั้งแต่ 1-100 มี 25 ตัว คือ

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

3. ตัวประกอบเฉพาะ คือ ตัวประกอบซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะ

4. ตัวประกอบร่วม คือ จำนวนนับซึ่งสามารถหารจำนวนนับใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวน

ขึ้นไปได้ลงตัว

5. ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.) คือ ตัวประกอบร่วม ซึ่งมีค่ามากที่สุดของจำนวนนับตั้งแต่

2 จำนวน เช่น ห.ร.ม. ของ 20 และ 30 คือ 10

6.พหุคูณ คือ จำนวนนับซึ่งมีค่าเป็นจำนวนเท่าของจำนวนนับใดๆ

เช่น 100 เป็นพหุคูณของ 5

7.พหุคูณร่วม คือ พหุคูณของจำนวนนับใดๆ ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป

เช่น 100 เป็นพหุคูณร่วมของ 5 และ 10

8. ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.) คือ พหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับใดๆ

ตั้งแต่ 2 จำนวนขึ้นไป เช่น ค.ร.น. ของ 15 , 30 และ 60 คือ 60

9. ถ้าจำนวนที่ต้องการหา ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ไม่มีตัวประกอบร่วม

ห.ร.ม. = 1

ค.ร.น. = ผลคูณของจำนวนเหล่านั้นทั้งหมด

10. ในกรณีจำนวนนับสองจำนวน

ผลคูณของจำนวน2จำนวนนั้น = ห.ร.ม. × ค.ร.น.

จาก  http://nuttunnuttun.mysquare.in.th/

สมบัติของจำนวนนับ

                                 สมบัติของจำนวนนับ        


ตัวประกอบของจำนวนนับใดๆ คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นลงตัว
                     ดังนั้นตัวประกอบของ 18   คือ     1,2,3,6,9,18
                      จำนวนนับที่หาร 132ลงตัว ได้แก่  1,132,2,66,3,44,4,33,6,22,11,12
                     ดังนั้นตัวประกอบของ 132 ได้แก่ 1,2,3,4,6,11,12,22,33,44,66,132
    Exercise      จงหาตัวประกอบของ 113
                     จำนวนนับที่หาร 113 ลงตัวมีเพียง 2 จำนวนคือ   1  และ 113

 Exercise  2   เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 2 มีเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 2
             3   เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 3 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ 3
             7   เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 7 มีเพียง 2 ตัว คือ 1 และ  7
            15  ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะตัวประกอบของ 15 มีมากกว่า 2  คือ  
                                         ...ข้อควรจำจ้า...การหารด้วย 2 ลงตัว จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0,2,4,6หรือ8 จะหารด้วย 2 ลงตัว
การหารด้วย 3 ลงตัว จำนวนนับใดจะหารด้วย 3ลง ตัว ก็ต่อเมื่อผลบวกของเลขโดดทุกจำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว                Exercise  ตัวประกอบของ 72 ได้แก่
                 1,3,5,15

หลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัว
        เช่น  321    หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 3+2+1 = 6 หารด้วย 3 ลงตัว
              1,353  หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1+3+5+3 = 12 หารด้วย 3 ลงตัว
การหารด้วย 5 ลงตัว 
                                             ...การแยกตัวประกอบ...                  ตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับใดๆ หมายถึง ตัวประกอบของจำนวนนับ

นั้นที่เป็นจำนวนเฉพาะ   เช่น  จงหาตัวประกอบ และตัวประกอบเฉพาะของจำนวนนับต่อ
ไปนี้
                              ตัวประกอบของ 72 ได้แก่ 1,2,3,4,6,8,12,18,24,36,72
                             ตัวประกอบเฉพาะของ 72  มีเพียง 2 ตัวคือ 2 และ 3    Exercise      จงหาตัวประกอบของ 18                          จำนวนนับที่หาร 18 ลงตัว ได้แก่  1,2,3,6,9,18
    Exercise      จงหาตัวประกอบของ 132
                     ดังนั้นตัวประกอบของ 113 ได้แก่ 1,113
จำนวนเฉพาะ                จำนวนเฉพาะ  หมายถึง จำนวนนับที่มากกว่า 1 ซึ่งมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเอง

จาก  http://www.thaigoodview.com/node/17661

พหุนาม

พหุนาม

      เอกนาม คือ นิพจน์ที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกับตัวแปรตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป  โดยที่เลขชี้กำลังของตัวแปรแต่ละตัวเป็นศูนย์หรือจำนวนเต็มบวก
      พหุนาม คือ นิพจน์สามารถเขียนในรูปเอกนามหรือสามารถเขียนในรูปการบวกของเอกนามตั้ง
แต่สองเอกนามขึ้นไป
      การแยกตัวประกอบของพหุนาม
 การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามนั้นในรูปของการคูณของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า
 พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax² + bx +cเมื่อ a, b, c เป็นค่าคงตัวที่a 0 และ x  เป็นตัวแปร     การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง
 x²+ bx + c เมื่อ b และ c เป็นจำนวนเต็ม ทำได้เมื่อสามารถหาจำนวนเต็มสองจำนวนที่คูณกันได้ c และ
  บวกกันได้  b
 ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวนดังกล่าว ดังนั้น
 de = c
 d + e = b
 ฉะนั้น x² + bx + c = x² + (d + e)x + de
 = ( x² + dx ) + ( ex + de )
 = ( x + d )x + ( x + d )e
 = ( x + d ) ( x + e )
 ดังนั้น x² + bx +c แยกตัวประกอบได้เป็น ( x + d ) ( x + e )
 ตัวอย่าง
 (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1)
 = 6x² – 5x + 6x – 5
 = 6x² + (5x+6x) – 5
 = 6x² -5x +6x -5
 = 6x² + x – 5
 จากตัวอย่างข้างต้น อาจแสดงวิธีหาพหุนามที่เป็นผลลัพธ์ได้ดังนี้
 1. (6x – 5)(x + 1)
 = 6x²
 - พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หน้าของพหุนามของผลลัพธ์
 2. (6x - 5)(x + 1)
 = -5
 -พจน์หลังของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง = พจน์หลังของพหุนามของผลลัพธ์
 3. (6x – 5)(x + 1)
 = 6x + (-5x )
 - พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x พจน์หลังของพหุนามวงเล็บหลัง + พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บแรก x  พจน์หน้าของพหุนามวงเล็บหลัง
     พจน์กลางของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์
 กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนึ่งซ้ำกัน
 ดังนั้น พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์แยกตัวประกอบได้ดังนี้
 x² + 2ax + a² = ( x + a )²
 x² – 2ax + a² = ( x – a )²
 รูปทั่วไปของพหุนามที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ a² +2ab + b² และ a² -2ab +b² เมื่อ a และ b  เป็นพหุนาม  แยกตัวประกอบได้ดังนี้
  สูตร a² +2ab + b² = ( a + b )²
 a² -2ab +b² = (a-b)²
      การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง
 พหุนามดีกรีสองที่สามารถเขียนได้ในรูป x² – a² เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวกเรียกว่า ผลต่างของกำลังสอง
 จาก x² – a² สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x² – a² = ( x + a ) ( x – a )
 สูตร x² – a² = ( x + a ) (x-a)
      การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์  
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง x² + bx + c โดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ สรุปได้คือ
 1. จัดพหุนามที่กำหนดให้อยู่ในรูป x² + 2px +c หรือ x² -2px +c เมื่อ p เป็นจำนวนจริงบวก
 2. ทำบางส่วนของพหุนามที่จัดไว้ในข้อ 1 ให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลังสองของ p  บวกเข้าและลบออกดังนี้
 x² + 2px +c = ( x² + 2px + p² ) – p² + c
 = ( x + p)² – ( p² - c )
 x² – 2px + c = ( x² - 2px + p² ) – p² + c
 = ( x - p)² – ( p² - c )
 3. ถ้า p² – c = d² เมื่อ d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้
 x² + 2px + c = ( x + p)² – d²
 x² - 2px + c = ( x - p)² – d²
 4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )² – d² หรือ ( x – p )² – d² โดยใช้สูตรการแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลังสอง
 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสูงกว่าสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม
 พหุนามที่อยู่ในรูป A³ + B³ และ A³ - B³ ว่าผลบวกของกำลังสาม ตามลำดับ
 สูตร A³ + B³ = ( A + B )( A² –AB + B²)
 A³ - B³ = ( A - B )( A² +AB + B²)

จาก  http://k.domaindlx.com/mymath/math9.htm

เลขยกกำลัง

                             เลขยกกำลัง   

1.    ความหมายของเลขยกกำลัง

นิยาม  ถ้า a เป็นจำนวนใด ๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก  “ a ยกกำลัง n “ หรือ  “ a กำลัง n “

เขียนแทนด้วย a มีความหมายดังนี้  a = a a a a a ….. a (a คูณกัน  n  ตัว)

          จากนิยาม จะเรียก a ว่าเลขยกกำลัง  เรียก a ว่า ฐาน  และเรียก n  ว่า เลขชี้กำลัง

ตัวอย่าง เช่น      1)  3  = 3 3 3 3                  มี  3  เป็น ฐาน และ มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง

                   2) (-5)  = -5 -5 -5                มี -5  เป็น ฐาน และ มี 3 เป็นเลขชี้กำลัง

                   3)  =                      มี   เป็น ฐาน และ มี 2 เป็นเลขชี้กำลัง

          ตัวอย่างที่ 1 จงเขียนจำนวนต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปของเลขยกกำลัง

วิธีทำ    1) 8  16   = (2 2 2)  (2 2 2 2)

                                      = 2  2  2  2  2  2  2

                                      = 2            

          2) 75  15  = (3 5 5)  (3 5)

                                      = 3 5 5 3 5

                                      = 3 5              

                  

2. สมบัติของเลขยกกำลัง

          ถ้า a , b เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ m , n เป็นจำนวนเต็มบวก

1)   การคูณเลขยกกำลัง ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อคูณกัน     ให้นำเลขชี้กำลังของตัวคูณแต่ละตัวมาบวกกัน  โดยใช้ฐานตัวเดิม  นั่นคือ  a  a  = a

      เช่น  2 2    = 2   =2

2)   การหารเลขยกกำลัง  ถ้าเลขยกกำลังมีฐานเหมือนกัน เมื่อหารกัน ให้นำเลขชี้กำลังของตัวหารไปลบเลขชี้กำลังของตัวตั้ง โดยใช้ฐานตัวเดิม นั่นคือ  a a = a

     เช่น 3 3    = 3   = 3

3)   เลขยกกำลังซ้อน  ให้นำเลขชี้กำลังมาคูณกัน

      นั่นคือ   (a )   =  a    เช่น   (3 ) =  3

4)   เลขยกกำลังของผลคูณ   สามารถกระจายเป็นผลคูณของเลขยกกำลังแต่ละตัว เมื่อมีฐานคงเดิม  นั่นคือ   (ab)  = a b      เช่น  (3p)  = 3 p

5)   เลขยกกำลังของผลหาร  สามารถกระจายเป็นผลหารของเลขยกกำลังแต่ละตัว เมื่อมีฐานคงเดิม 

6)   เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนลบ   สามารถเขียนให้เป็นส่วนกลับของ

เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนบวกได้  

7)   เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์(0)  เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ (0)  มีค่าเท่ากับ 1 เสมอ   นั่นคือ  a   = 1   เมื่อ   a     0  เช่น  5   = 1